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Technology: Methoden der Sprachanalyse
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Cepstralanalyse-Algorithmen

Die Aufgabe, aus einem harmonischen Sprachlaut die Informationen der zugrundeliegenden Signalanteile von glottaler Anregung einerseits und Vokaltrakt andererseits voneinander zu trennen, scheitert im Zeitbereich an der mathematischen Unmöglichkeit der erforderten "Entfaltung". Zur Lösung wählt man den Umweg über die Spektraltransformation: Das sich ergebende Verfahren wird "Cepstralanalyse" genannt.

Was ist ein Cepstrum?

Das Cepstrum stellt ein erstmalig von Tukey beschriebenes Verfahren zur Grundfrequenzbestimmung bei harmonischen Sprachlauten dar. Das Cepstrum ist definiert als die Rücktransformation des logarithmierten Leistungsdichtespektrums des Zeitsignals s(t):

mit

bzw., da das logarithmierte Leistungsdichtespektrum gerade ist und die Fourier-Transformation somit zur Cosinus-Transformation wird:

Durch diese zweimalige Fouriertransformation (bzw. die Rücktransformation des logarithmierten Leistungsdichtespektrums) erhält man die "Frequenz" des Spektrums, das heißt den "Rhythmus" oder den "Takt" der harmonischen Frequenzanteile. Der Terminus "Cepstrum" entsteht durch Invertierung der ersten vier Buchstaben des Wortes "Spectrum" und wurde geprägt, um Verwechslungen zwischen den signalimmanenten Frequenzen einerseits und den sich erst über nochmalige Spektraltransformation ergebenden "cepstralen Frequenzen" andererseits zu vermeiden:

• "Spektrum (spectrum)" wird zum "Cepstrum"
• "spectral analysis" wird zu "cepstral alanysis (cepstrale Alanyse)"
• "frequency" wird zu "quefrency (Quefrenz)"
• "harmonic" wird zu "rahmonic (Rahmonische)"
• "filtering" wird zu "liftering (Lifterung)"

Die Quefrenz hat die Einheit Zyklen pro Hertz oder einfach Sekunden (Abkürzung: "q"; da die Quefrenz der Verzögerung (delay) der Autokorrelierten entspricht (siehe unten), wird sie häufig auch mit "d" abgekürzt). Das Cepstrum besteht aus einem niederquefrenten Anteil - der zur Formantstruktur korrespondierenden Information des Vokaltraktes - und Ausschlägen bei höherquefrenten Anteilen (Grundquefrenz und eventuell Rahmonische).

Das Cepstrum ist also das Spektrum des Spektrums, d.h. die Fourier-Transformation einer Fourier-Transformation eines Zeitsignals. Fourier-transformiert man ein einfaches Sinussignal mit einer Reihe von Harmonischen derselben Amplitude, und zeichnet man die Amplitude über der Frequenz auf, erhält man eine Reihe von vertikalen Ausschlägen, die den harmonischen Anteilen entsprechen und alle gleich weit voneinander entfernt sind. Diese Darstellung zeigt in sich selbst eine harmonische Struktur, die man über eine abermalige Fourier-Transformation als einzelne Linie ermitteln kann, die der Grundfrequenz und allen Harmonischen entspricht.

Die Anwendungen der Cepstralanalyse sind ziemlich raffiniert: Fourier-transformiert man etwa ein Zeitsignal, das aus der Überlagerung aus den Klängen einer Flöte, einer Klarinette und eines Fagotts entsteht, erhält man eine Riesenanzahl von enthaltenen Frequenzen. Die Cepstralanalyse hiervon produziert lediglich drei Einzellinien, die den drei Instrumenten entsprechen. Geräusche (noise) bleiben außen vor.

Das vereinfachte lineare Modell der Spracherzeugung (Abb. 10) beschreibt die Erzeugung stimmhafter Sprachlaute im Zeitbereich durch die Faltung der glottalen Impulsfolgen-Anregungsfunktion g(t) der Periode T0 (inklusive additiv überlagerten Rauschens) mit der Impulsantwort v(t) des Vokaltraktes:

s(t) = g(t) * v(t).

(Dabei wird die glottale Anregung als echte Pulsfolge beschrieben, obwohl sie als Ergebnis der Faltung einer echten Pulsfolge mit der Impulsantwort des glottalen Systems eigentlich mehr dreieck- als deltaförmig ist. Die vorliegende Idealisierung ist aber eine im allgemeinen legitime Näherung.)

Im Frequenzbereich entspricht dies der Multiplikation des glottalen Linienspektrums der Grundfrequenz F0 = 1/T0 mit der Vokaltraktübertragungsfunktion:

mit

Für stimmhafte Sprachlaute ist das Anregungssignal und somit das Sprachsignal quasi-periodisch. Mit der Grundperiode T0 ergibt sich der Abstand der Harmonischen im Spektrum bzw. Leistungsdichtespektrum zu F0, der sich über die Fourier-Rücktransformation als Peak in der hierdurch entstehenden Autokorrelationsfunktion

niederschlägt. Diese Gleichungen zusammengesetzt ergeben als weiteren Ausdruck für die Autokorrelationsfunktion:

mit den jeweiligen Autokorrelationsfunktionen von g(t) und v(t).

Um die Auswirkungen von Anregungssignal und Vokaltrakt-Impulsantwort voneinander trennen zu können (was über Entfaltung der Autokorrelationen nicht möglich ist), wird das Leistungsdichtespektrum vor der Fourier-Rücktransformation logarithmiert. Das Cepstrum ergibt sich zu

Anstatt der Faltung erhält man die mathematische Separierung zweier unabhängiger Funktionen. Die prinzipiellen Berechnungen sind in Abb. 11 skizziert (Berechnung über Leistungsdichtespektrum).

Die cepstrale Alanyse erweist sich aufgrund der zweimaligen Fourier-Transformation und der Logarithmus-Operation als sehr rechenaufwendig. Zur Rekonstruktion der Impulsantwort des Vokaltraktes oder der glottalen Anregungs-Pulsfolge wären zwei weitere Fourier-Transformationen sowie eine exponentielle Operation erforderlich. Häufig wird das Cepstrum zur Bestimmung von Grundfrequenz oder Vokaltrakt-Übertragungsfunktion verwendet.

Treten im Spektralbereich große harmonische Intervalle auf, schlägt sich das im Cepstralbereich als niederquefrenter Anteil nieder, während geringe harmonische Intervalle etwa eines Rauschsignals zu einem hochquefrenten Anteil transformiert werden. Bei der menschlichen Sprache besitzt die niedrige Grundfrequenz von z.B. 100 Hz eine große Anzahl spektraler Harmonischer, deren Abstand voneinander der relativ hohen Quefrenz von 10 ms entspricht.

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